对二年级学生就“有余数除法”学习难点的调查研究

摘要：从学生的学习经历看有余数除法是对除法意义的进一步理解，是对表内除法知识的延伸和扩展，是后续学习除数是两三位数的除法及小数除法的基础。人教版教材将原本在三年级出现的此内容下移至二年级下册，教师的教和学生的学都遇到了一定程度的困难。教师教什么？怎样教？取决于学生学习的需求。把握学生学习的需求，了解学生学习的难点，对教学内容进行整体分析是进行有效教学设计的基础和前提。  本文通过对学生的前测问卷及访谈情况的分析，梳理了二年级下册“有余数除法”单元的学习难点，针对学习难点提出了：在整体分析教学内容的基础上分散教学难点；采用直观方式建立多种表征联系理解有余数除法中各数之间的关系；重视学生的“原始认识”，让数学课堂有“探寻”的味道的教学建议。

关键词：有余数除法；教学难点

一、问题的提出

在日常生活平均分物时，分的结果会出现两种情况：一种是恰好分完，没有剩余（即余数为0），另一种是平均分以后还有剩余（即余数不为0）。从学生的学习经历看有余数除法是对除法意义的进一步理解，是对表内除法知识的延伸和扩展。人教版教材将原本在三年级出现的此内容下移至二年级下册，下面呈现的是现人教版（修订）二年级下册“有余数除法”单元的教学内容和原人教（实验）版三年级上册有余数除法的教学内容。

在对比中发现：教学内容从原来的4个例题增加至6个例题，例题的编排更加重视对“关系”的理解，如：表内除法与有余数除法的关系，除数和余数的关系等，有余数除法中各数之间的含义。同时还重视了对有余数除法学习意义的理解，编排了2个例题突出生活中用有余数除法知识解决的简单的实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力。对于二年级学生而言本单元的教学难点过于集中，怎样教？成为困扰教师的主要问题。

要想解决怎样教的问题还要从学生的学习需求入手结合对教学内容的整体分析进行思考和教学设计。

二、研究过程

（一）测试

1．测试对象：二年级共80名学生进行问卷调查

2．测试题目说明：闭卷30分钟

（二）访谈

随机选取参与测查的二年级学生作为访谈对象。

三、研究分析

从前测试卷中可以看到学生能够正确理解题目中的文字和图示信息，采用圈一圈的方法找到答案，并借助除法的意义正确列式。其中80%的学生采用先列式计算，再圈圈验证的方法完成题目。但是对除法竖式的认识知之甚少，出现了以下几种竖式情况：

在对书写①②③④的学生进行访谈后发现：学生对竖式并不陌生，学过了加法、减法竖式，通过家长的辅导和其他途径的学习也学会了乘法竖式的表达方法。因此面对“用竖式计算”的要求时自然产生想法：除法竖式怎样写呢？于是学生在思维储存的知识方法中快速检索，在完成任务中学生“创造”出了以上竖式的表达方法。不难看出学生能够运用“几个几”的知识，将加、减、乘和除的意义建立起联系，借助几个几的意义建立除法竖式的模型。

在对书写⑤⑥⑦的学生进行访谈时，发现学生对除法竖式认识并非原生态，有的学生在书籍中见过“）”号，有的学生在校外学习过，从⑤⑥商书写的位置更能看出，这些学生对于竖式计算的认识基本处于“雾里看花”或者“匆匆而过”的状态。对除法竖式中各数的含义以及各数之间的关系并不理解，觉得商只要有个位置就可以了，很难与计数单位和数位的知识相联系。

和题目1比较，学生对文字信息理解正确，并通过自己的理解运用画图的方法寻找答案。但是只有18．75%的学生是采用先列式计算在画图验证的方法完成题目。大多数学生发现不能用口诀直接找到结果，对答案不确定，因此采用先画图，再列式计算的方法完成题目。对还剩2个的表达方式也比较多样，出现了以下几种典型情况：

随机对学生进行访谈。

师：在这个除法算式里，17叫被除数，5叫除数，3叫商，如果让你给还剩的2个梨起个名字，你会叫它什么？

学生：“剩数”“余数”“多数”。

学生通过直观操作已经初步理解了“余数”的含义，2表示剩余的部分是学生共同的认识。

学生这样进行竖式计算：

说明学生对有余数除法中各数含义以及它们之间的关系是模糊的。

93.75%的学生采用举例子的方法回答问题，因此结论也是唯一的。在学生的头脑中缺少“变化”意识，也缺少“追问”意识，因此还未形成“余数组”的认识。

26.26%的学生能够正确理解题目含义，并结合题意画示意图辅助思考，结合生活实际作出正确判断。回答错误的学生主要是对题目中“最多”和“至少”等词语不理解。还有的学生忽视了对余下的3人的处理，缺乏将对数学问题还原成生活问题的能力。

通过以上分析我对人教版二年级下册“有余数除法”单元的学习难点进行了梳理。

四、教学思考与建议

（一）在整体分析教学内容的基础上分散教学难点

修订版小学数学教材中和“有余数除法”有关的教学内容可以分为以下几个阶段：

一年级下册“100以内数的认识”图（1）， 此学习内容是学生在分物过程中首次经历剩余情况。图（2）是一年级下册“100以内的加法和减法（一）”中的学习内容，学生在分物的过程中再次经历有剩余情况。这两次学习使在学生进一步熟悉画图策略，同时能够用图示表征，符号表征等方式说明自己的思考过程，初步渗透“余数”表象。

一年级下册“找规律”的学习使学生认识到“规律”，感受“规律”中的“组”，形成“份”、的概念表象。

二年级上册“表内乘法”──乘法的意义和乘法口诀和二年级下册“表内除法”──除法的意义和用乘法口诀求商的学习尤为重要。乘法的意义是建立除法意义的基础，而除法意义的学习又是形成有余数除法含义的基础，因此重点研究乘法和除法的意义就成为研究后续一系列问题的核心，也是教学的重中之重。

从以上学生的学习经历来看，有余数除法的学习并不是毫无基础和经验的，把握教材的主要教学内容对后续知识进行适时适度的渗透可以起到分散教学难点的作用。（在梳理教材的过程中也发现一个问题，到目前为止现人教版教材中出现了加法、减法和除法的竖式计算方法，唯独没有乘法的竖式计算内容，建议教师结合教学内容和本班学生的实际情况在适当的时候进行乘法竖式的教学，同时渗透十进位值制，为讨论除法竖式中商的对位问题做铺垫。）

（二）采用直观方式建立多种表征联系理解有余数除法中各数之间的关系

荷兰数学家弗赖登达尔认为，数学学习是一种活动，这种活动与游泳、骑自行车一样，不经过亲身体验，仅仅从看书本、听讲解、观察他人的演示是学不会的。尤其是数学概念的学习更是如此。因为数学概念的特点是高度的抽象化与应用的普遍化。所以学生学习概念必须要经历通过动手操作的活动，使学生各种感官都参与到感知概念的本质中来，从多方面，多角度认识概念的内涵。

心理学家皮亚杰提出的儿童智力发展分为四个阶段的理论，即：感知运算智力阶段（0～2岁），前运算智力阶段（2～7岁），具体运算智力阶段（7～12岁），形式运算智力阶段（12～15）。其中第三阶段属于小学生智力发展阶段，这一阶段的儿童借助具体事物，能作出一定程度的推理。儿童能联系具体事物进行思考，也就是说，思维的内容和形式尚未分离。因为，儿童认知的形式，即不单纯来自先天能力，也不单纯来自后天经验，而是来自儿童的动作和活动，儿童必须通过活动和具体事务进行学习。这样可以使学生将外在刺激转换为内在表象从而形成概念的认知历程。

例如：把12个苹果每4个放在一个盘子里，需要几个盘子？在表内除法学习的初始阶段学生需要在动手操作中感受一份一份分的方法，获得把一定数量的物品按份分以后的结果。当实物操作成为一种经验以后，学生就能够运用这种经验将分的过程用画图的方式表达出来，并获得结果，学生能够借助自己的直接经验将“分的过程”与“图”建立联系，加深对除法意义的理解。此时学生的画图过程就从原有的感知性动手操作上升为思维性动手操作，学生的数学思考自然的融入其中。当学生处于思维性动手操作阶段时教师应发挥自身的主导作用将学生呈现的“图”与“数”“符号”建立一一对应的联系，形成“除法算式”，使学生不断的经历从具体到抽象的过程，不断的丰富对“算式”的感性认识，实现将“操作”“横式”“竖式”相互结合，“有来有回”的教学。

（三）重视学生的“原生态认识”，让数学课堂有“探寻”的味道

在前测调研中学生问了几个“好问题”：除法竖式是什么样的？余数和要分的总数是什么关系？ 这个竖式中为什么有两个12呢……

学生最朴素的认识展现了数学发展的历史，数学中有大量的“约定俗成”，但是约定俗成不是胡思乱想的规定，而是有其“合理性”。当学生理解了合理性时，就能够学好数学。在课堂教学中教师如果经常用“就是这样规定”的语言回答学生的“傻”问题，久而久之也就磨灭了学生探索知识的火苗。面对学生的“傻”问题，教师要能够激励学生去探寻“为什么会是这样的？”“它的背后有什么原因和道理吗？”长此以往学生获得的是数学的思维和数学的思考。以上就是本人对二年级下册“有余数除法”单元学生学习难点的分析，并结合自己的教学体会提出了一些浅显的认识。